🔹 بردار و مختصات
🔹 جمع بردارها
📌 بردار چیست؟
بردار چیست؟
روشهای جمع بردارها
روش 1: روش سر به دم (مهمترین روش)
برای جمع دو بردار a→ و b→:
• دمِ b→ را روی سرِ a→ قرار میدهیم
• بردار حاصل (a→ + b→) از دمِ بردار اول تا سرِ بردار دوم رسم میشود
روش 2: روش متوازیالأضلاع
برای دو بردار a→ و b→:
از دم هر دو بردار، دو بردار موازی با آنها رسم میکنیم
متوازیالأضلاع تشکیل میشود
قطر متوازیالأضلاع همان a→ + b→ است
ویژگیهای جمع بردارها
• جابجایی:
• شرکتپذیری:
a→ + b→ = b→ + a→
(a→ + b→) + c→ = a→ + (b→ + c→)
1مثال
دو بردار همجهت با اندازههای 4 و 3 واحد داریم:
جمع = بردار همجهت با اندازه 7 واحد
مثال 2
اگر دو بردار خلافجهت باشند (مثلاً یکی 8 واحد و دیگری 5 واحد):
جمع → برابر است با اندازهٔ بزرگتر منهای کوچکتر
= 3 واحد در جهت بردار بزرگتر
ضرب عدد در بردار
تعریف
اگر k یک عدد حقیقی باشد (مثبت، منفی یا صفر)،
و a→ یک بردار باشد،
ضرب k در a→ یعنی:
• اگر k > 0 باشد → اندازهٔ بردار k برابر میشود و جهت حفظ میشود
• اگر k < 0 باشد → اندازه k برابر میشود و جهت عکس میشود
• اگر k = 0 باشد → بردار صفر (بدون جهت) میشود
مثالهای مهم
مثال 1
2a→ یعنی برداری دو برابر a→ در همان جهت.
مثال 2
(−3)b→ یعنی:
• اندازهٔ بردار 3 برابر میشود
• جهتش برعکس b→ میشود
مثال 3
0c→ = بردار صفر
بردارهای واحد مختصات
در محور مختصات دو بردار مهم معرفی میشوند:
۱) بردار i→
بردار واحد روی محور x
• اندازه = 1
• جهت = راست
• شکل مختصاتی: (1 , 0)
۲) بردار j→
بردار واحد روی محور y
• اندازه = 1
• جهت = بالا
• شکل مختصاتی: (0 , 1)
نمایش هر بردار با i→ و j→
هر بردار روی صفحه را میتوان به شکل زیر نوشت:
a→ = (x , y) = x i→ + y j→
مثلاً:
• بردار (3 , 2):
3i→ + 2j→
• بردار (−1 , 4):
−1i→ + 4j→
جمع و ضرب در این نمایش
جمع بردارها:
(x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , y1 + y2)
ضرب عدد در بردار:
k(x , y) = (kx , ky)
مثال 1
(3 , 2) + (−1 , 4)
= (2 , 6)
مثال 2
3(2 , −5)
= (6 , −15)